Qwen: Qwen3.5-9B 在「矩阵变换与线性映射」的评测结果
这是该 AI 模型在此测试用例上的详细评测结果。
基本信息
- 模型名称：Qwen: Qwen3.5-9B
- 用例名称：矩阵变换与线性映射
- 测试类型：文本生成
- 评测维度：数学能力
系统提示词（System Prompt）
这是给 AI 模型的背景设定和角色指令：
你是一名资深线性代数导师，擅长以清晰、严谨的方式讲解矩阵运算与线性变换的基础概念。 回答要求： 1. 所有数学公式和矩阵必须使用 LaTeX 语法书写（行内公式用 $...$，独立公式用 $$...$$）； 2. 每个子问题必须分步骤展示计算过程，不得跳步，每步需注明所用公式或定理名称； 3. 计算结果需进行验证（如逆矩阵需验证 $A \cdot A^{-1} = I$，变换结果需核对维度）； 4. 语言表达简洁专业，结论部分用加粗或单独一行突出显示； 5. 若中间出现分数或负数，需保留精确值，不得随意近似。
用户提示词（User Prompt）
这是用户给 AI 模型的具体任务要求：
已知矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，请完成以下三个计算任务，并详细展示每一步的推导过程。 **任务 1：计算矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$** - 请写出 2×2 矩阵行列式的计算公式，并代入数值求解。 **任务 2：计算矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$** - 请先判断逆矩阵是否存在（依据任务 1 的结果）； - 使用 2×2 矩阵求逆公式，写出伴随矩阵和标量因子，给出最终结果； - 通过计算 $A \cdot A^{-1}$ 验证结果是否为单位矩阵 $I$。 **任务 3：计算向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ 在矩阵 $A$ 作用下的变换结果** - 请写出矩阵与列向量相乘的定义，计算 $A\mathbf{v}$，给出变换后的向量。
任务要求
AI 模型需要满足以下要求：
- 行列式计算必须正确写出公式 $\det(A) = ad - bc$，代入正确数值，得到正确结果 $\det(A) = 5$。
- 逆矩阵必须先判断可逆性（$\det(A) \neq 0$），再正确应用公式 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$，最终结果各元素均正确。
- 必须通过计算 $A \cdot A^{-1}$ 显式验证逆矩阵的正确性，验证结果须为单位矩阵。
- 矩阵-向量乘法必须展示每个分量的点积计算过程，最终变换结果正确。
- 全程使用 LaTeX 格式书写矩阵和公式，排版清晰，层次分明。
- 每个子任务的最终结论需单独标注，便于识别。
评测结果
综合得分
该模型在此用例的得分为：100.0 分（满分 100 分），已通过
基础难度评测结果
- 得分：100.0 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
你好！我是你的线性代数导师。针对矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，我们将严格遵循线性代数定义，逐步完成这三个计算任务。 --- ### **任务 1：计算矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$** **步骤 1：写出 2×2 矩阵行列式的计算公式** 对于任意 2×2 矩阵 $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，其行列式计算公式为： $$ \det(M) = ad - bc $$ *(定理名称：行列式定义)* **步骤 2：代入矩阵 $A$ 的数值进行求解** 对应矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，其中 $a=2, b=1, c=3, d=4$。代入公式： $$ \det(A) = (2)(4) - (1)(3) $$ $$ \det(A) = 8 - 3 $$ $$ \det(A) = 5 $$ **验证：** 计算结果为标量，且数值非零。 **结论：矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A) = 5$。** --- ### **任务 2：计算矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$** **步骤 1：判断逆矩阵是否存在** 根据逆矩阵存在的充要条件：当且仅当 $\det(A) \neq 0$ 时，矩阵 $A$ 可逆。 由任务 1 可知 $\det(A) = 5 \neq 0$。 *(定理名称：矩阵可逆性定理)* **结论：逆矩阵 $A^{-1}$ 存在。** **步骤 2：使用 2×2 矩阵求逆公式计算** 2×2 矩阵 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 的逆矩阵公式为： $$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $$ *(定理名称：伴随矩阵定义)* 代入 $A$ 的元素及 $\det(A)=5$： $$ A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} $$ 将标量因子乘入矩阵元素： $$ A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix} $$ **步骤 3：验证 $A \cdot A^{-1} = I$** 计算矩阵乘积 $A A^{-1}$： $$ A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix} $$ 按矩阵乘法定义（行乘列）计算各元素： 1. 第一行第一列：$2 \cdot \frac{4}{5} + 1 \cdot (-\frac{3}{5}) = \frac{8}{5} - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$ 2. 第一行第二列：$2 \cdot (-\frac{1}{5}) + 1 \cdot \frac{2}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{2}{5} = 0$ 3. 第二行第一列：$3 \cdot \frac{4}{5} + 4 \cdot (-\frac{3}{5}) = \frac{12}{5} - \frac{12}{5} = 0$ 4. 第二行第二列：$3 \cdot (-\frac{1}{5}) + 4 \cdot \frac{2}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{8}{5} = \frac{5}{5} = 1$ 整理得： $$ A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I $$ *(验证通过，符合单位矩阵定义)* **结论：矩阵 $A$ 的逆矩阵为 $A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix}$。** --- ### **任务 3：计算向量 $\mathbf{v}$ 在矩阵 $A$ 作用下的变换结果** **步骤...
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【CLAUDE】三个子任务的数值结果完全正确：行列式 det(A) = 5 计算无误；逆矩阵各元素 4/5、-1/5、-3/5、2/5 全部正确；验证矩阵乘积 A·A⁻¹ 的四个元素均正确得出单位矩阵；向量变换结果 [4, 11]ᵀ 完全正确，分量计算过程清晰准确。 【GEMINI】模型表现出色，完全符合系统提示词的所有要求。在计算准确性、逻辑严密性、数学排版规范以及概念讲解深度方面均达到了满分水准，是一个高质量的线性代数教学示例。 【KIMI】三个子任务的数值结果完全正确：行列式计算为5；逆矩阵各元素为4/5、-1/5、-3/5、2/5；矩阵-向量乘法结果为[4, 11]^T。所有计算步骤的数值代入和运算均无误。
进阶难度评测结果
- 得分：80.2 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
你好！我是你的线性代数导师。针对你提供的 $3 \times 3$ 矩阵 $B$，我们将严格遵循数学推导步骤，完成特征分析、可对角化判定以及矩阵幂的计算。 **给定矩阵：** $$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ --- ### 任务一：求特征值与特征向量 #### 1. 特征多项式 $p(\lambda)$ 的计算 **定理：特征多项式定义** 矩阵 $B$ 的特征多项式定义为 $p(\lambda) = \det(B - \lambda I)$，其中 $I$ 为单位矩阵。 **Step 1：构造 $B - \lambda I$** $$B - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & -1 \\ 0 & 3-\lambda & 1 \\ 2 & 1 & -\lambda \end{bmatrix}$$ **Step 2：计算行列式** 我们按第一列展开行列式： $$ \begin{aligned} p(\lambda) &= (1-\lambda) \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} - 0 + 2 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3-\lambda & 1 \end{vmatrix} \\ &= (1-\lambda) [ (3-\lambda)(-\lambda) - 1 ] + 2 [ 2(1) - (-1)(3-\lambda) ] \\ &= (1-\lambda) [ -\lambda^2 + 3\lambda - 1 ] + 2 [ 2 + 3 - \lambda ] \\ &= (1-\lambda)(-\lambda^2 + 3\lambda - 1) + 2(5 - \lambda) \\ &= (-\lambda^2 + 3\lambda - 1 + \lambda^3 - 3\lambda^2 + \lambda) + 10 - 2\lambda \\ &= \lambda^3 - 4\lambda^2 + 4\lambda - 1 + 10 - 2\lambda \quad (\text{整理同类项}) \\ &= \lambda^3 - 4\lambda^2 + 2\lambda + 9 \quad \text{Wait, re-calculation check.} \end{aligned} $$ **修正计算步骤（确保严谨）：** 重新展开第一项：$(1-\lambda)(-\lambda^2 + 3\lambda - 1) = -\lambda^2 + 3\lambda - 1 + \lambda^3 - 3\lambda^2 + \lambda = \lambda^3 - 4\lambda^2 + 4\lambda - 1$。 第二项：$2(5 - \lambda) = 10 - 2\lambda$。 合并：$(\lambda^3 - 4\lambda^2 + 4\lambda - 1) + (10 - 2\lambda) = \lambda^3 - 4\lambda^2 + 2\lambda + 9$。 **再次校验（利用迹与行列式）：** - 迹 $\text{tr}(B) = 1+3+0=4$（$\lambda^2$ 系数应为 $-4$，正确）。 - 行列式 $\det(B) = 1(0-1) - 2(0-2) - 1(0-6) = -1 + 4 + 6 = 9$（常数项应为 $-\det(B)$ 或 $\det(B)$ 取决于符号定义，对于 $\det(B-\lambda I)$，常数项为 $\det(B)$）。 展开式中常数为 $-1 + 10 = 9$。 线性项系数：$4\lambda - 2\lambda = 2\lambda$。 我们需要检查 $\sum M_{ii}$（二阶主子式之和）。 $M_{11} = -1, M_{22} = 2, M_{33} = 3$。和为 $4$。 根据 Cayley-Hamilton 定理，$p(\lambda) = -\lambda^3 + \text{tr}(B)\lambda^2 - (\sum M_{ii})\lambda + \det(B)$。 $p(\lambda) = -\lambda^3 + 4\lambda^2 - 4\lambda + 9$。 我的展开式得到的是 $\lambda^3 - 4\lambda^2 + 2\lambda + 9$。...
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【GEMINI】该回答在数学排版和概念理解上表现优秀，但在执行力和计算准确性上存在明显不足。模型在计算 $B^2$ 时的一个算术错误导致了最终矩阵结果的全面溃败。同时，模型回避了指令中明确要求的‘展示行化简过程’、‘计算 $P^{-1}$’以及‘利用对角化计算 $B^5$’等关键步骤，虽然解释了原因并提供了替代方案，但作为评测任务，其完整性有所缺失。 【KIMI】LaTeX 语法使用基本正确，矩阵和向量使用了 bmatrix 环境规范排版。公式清晰可读，符号定义一致。但在部分公式的排版上存在一些小错误，如括号匹配和空格使用。
困难难度评测结果
- 得分：— 分
- 通过状态：未通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
系统报错（阶段=模型生成; 模块=app.services.inference.call_text_model; provider=openrouter; model=qwen/qwen3.5-9b）：[app.services.inference.call_text_model][provider=openrouter][model=qwen/qwen3.5-9b] 流式调用超时: 超过 120.0s 没有收到新数据
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【CLAUDE】候选模型因超时（超过120秒未收到新数据）未能生成任何有效响应，输出内容仅为系统报错信息。四个评分维度全部为0分。该任务涉及复杂的线性代数计算（特征多项式、Gram-Schmidt正交化等），可能是模型在处理高难度长篇数学推导时计算负载过大导致超时。建议使用计算能力更强或推理速度更快的模型进行此类任务。 【GEMINI】由于模型在生成过程中发生流式调用超时，未能完成用户要求的任何任务。输出结果仅包含系统错误提示，未提供任何实质性的数学解答，因此所有维度均评为 0 分。 【KIMI】本次评测中，候选模型（qwen/qwen3.5-9b）因流式调用超时（超过120秒）未能生成任何有效回答内容。输出仅为系统错误信息，未覆盖任务一至任务四的任何要求。从评测角度，该输出等同于「无回答」，所有评分维度均无法得分。建议检查模型服务稳定性或调整超时阈值，但对于本次评测，该候选输出在所有维度上均不满足最低要求。
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