mimo-v2-pro 在「数学建模与优化问题」的评测结果
这是该 AI 模型在此测试用例上的详细评测结果。
基本信息
- 模型名称：mimo-v2-pro
- 用例名称：数学建模与优化问题
- 测试类型：文本生成
- 评测维度：数学能力
系统提示词（System Prompt）
这是给 AI 模型的背景设定和角色指令：
你是一名资深运筹学专家，擅长线性规划建模与求解。 回答要求： 1. 必须明确定义决策变量（Decision Variables），使用规范的数学符号表示。 2. 必须写出标准数学表达式，包括目标函数（Objective Function）和所有约束条件（Constraints）。 3. 必须详述求解过程，列出可行域的所有顶点并逐一代入目标函数进行比较。 4. 最终最优解（产品数量与最大利润）需加粗显示。 5. 回答结构清晰，按「建模 → 求解 → 结论」三段式展开。
用户提示词（User Prompt）
这是用户给 AI 模型的具体任务要求：
一家工厂每天生产两种产品 A 和 B，相关数据如下： | 资源消耗 | 产品 A（每个） | 产品 B（每个） | 每日可用上限 | |--------------|-------------|-------------|-----------| | 机器时间（小时） | 2 | 3 | 18 | | 原材料（千克） | 3 | 2 | 20 | | 单位利润（元） | 50 | 40 | — | 约束说明： - 产品数量必须为非负整数（本题可先在实数范围内求解，再验证整数可行性）。 - 工厂每天机器时间不超过 18 小时，原材料不超过 20 千克。 请完成以下任务： 1. 建立线性规划数学模型（定义决策变量、写出目标函数与约束条件）。 2. 用图解法（或逐顶点枚举法）求解可行域的所有顶点。 3. 计算各顶点处的目标函数值，确定最优解。 4. 给出结论：工厂每天应生产多少个 A 和 B，最大利润是多少元？
任务要求
AI 模型需要满足以下要求：
- 正确定义决策变量（如令 x 为产品 A 的日产量，y 为产品 B 的日产量），并说明其含义与非负性。
- 目标函数表达式正确（max Z = 50x + 40y），约束不等式完整且方向正确（≤ 形式）。
- 正确列出可行域的所有顶点坐标（至少包含原点、两轴截距点及两约束线交点）。
- 逐一将各顶点代入目标函数，计算结果无误，并正确判断最大值点。
- 最终结论明确给出最优产量组合与对应最大利润数值。
- 求解过程逻辑连贯，步骤清晰，无跳步或计算错误。
评测结果
综合得分
该模型在此用例的得分为：96.0 分（满分 100 分），已通过
基础难度评测结果
- 得分：96.0 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
### 建模 **决策变量：** 设 \( x \) 为每天生产产品 A 的数量（个）， 设 \( y \) 为每天生产产品 B 的数量（个）。 **目标函数：** 最大化总利润 \( Z = 50x + 40y \)（元）。 **约束条件：** 1. 机器时间约束：\( 2x + 3y \leq 18 \)（小时） 2. 原材料约束：\( 3x + 2y \leq 20 \)（千克） 3. 非负约束：\( x \geq 0, \, y \geq 0 \) （注：产品数量需为非负整数，但先在实数范围内求解线性规划，再验证整数可行性。） --- ### 求解 #### 1. 实数域线性规划求解（图解法/顶点枚举法） 可行域由约束直线围成，顶点通过约束直线交点得到。 约束直线方程： - \( L_1: 2x + 3y = 18 \)（机器时间） - \( L_2: 3x + 2y = 20 \)（原材料） - 坐标轴：\( x = 0 \), \( y = 0 \) **求顶点：** - 原点：\( (0, 0) \) - \( L_1 \) 与 \( y \)-轴交点：令 \( x = 0 \)，\( 2(0) + 3y = 18 \Rightarrow y = 6 \)，得点 \( (0, 6) \) - \( L_2 \) 与 \( x \)-轴交点：令 \( y = 0 \)，\( 3x + 2(0) = 20 \Rightarrow x = \frac{20}{3} \approx 6.667 \)，得点 \( \left( \frac{20}{3}, 0 \right) \) - \( L_1 \) 与 \( L_2 \) 交点：解方程组 \[ \begin{cases} 2x + 3y = 18 \\ 3x + 2y = 20 \end{cases} \] 将第一方程乘以 2，第二方程乘以 3： \[ \begin{cases} 4x + 6y = 36 \\ 9x + 6y = 60 \end{cases} \] 相减得 \( 5x = 24 \Rightarrow x = 4.8 \)，代入 \( 2(4.8) + 3y = 18 \Rightarrow 9.6 + 3y = 18 \Rightarrow y = 2.8 \)，得点 \( (4.8, 2.8) \) 可行域顶点为：\( (0, 0) \), \( (0, 6) \), \( \left( \frac{20}{3}, 0 \right) \), \( (4.8, 2.8) \)。 **计算各顶点目标函数值：** - \( (0, 0) \): \( Z = 50(0) + 40(0) = 0 \) - \( (0, 6) \): \( Z = 50(0) + 40(6) = 240 \) - \( \left( \frac{20}{3}, 0 \right) \): \( Z = 50 \times \frac{20}{3} + 40(0) = \frac{1000}{3} \approx 333.33 \) - \( (4.8, 2.8) \): \( Z = 50(4.8) + 40(2.8) = 240 + 112 = 352 \) 在实数域内，最优解为 \( x = 4.8 \), \( y = 2.8 \)，最大利润 \( Z = 352 \) 元。 #### 2. 整数解验证 由于产品数量必须为整数，需在可行域内寻找整数解。约束为： \( 2x + 3y \leq 18 \), \( 3x + 2y \leq 20 \), \( x, y \geq 0 \) 且为整数。 通过枚举接近实数最优解 \( (4.8, 2.8) \) 的整数点，计算可行点的目标函数值： - \( (4, 3) \): 机器时间：\( 2(4) + 3(3) = 8 + 9 = 17 \leq 18 \) 原材料：\( 3(4) + 2(3) = 12 + 6 = 18 \leq 20 \) \( Z = 50(4) + 40(3) = 200 + 120 = 320 \) - \( (5, 2) \): 机器时间：\( 2(5) + 3(2) = 10 + 6 = 16 \leq 18 \) 原材料：\( 3(5) + 2(2) = 15 + 4 = 19 \leq 20 \) \( Z = 50(5) + 40(2) = 250 + 80 = 330 \) - \( (6, 1) \): 机器时间：\( 2(6) + 3(1) = 12 + 3 = 15 \leq 18 \) 原材料：\( 3(6) + 2(1) = 18 + 2 = 20 \leq...
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【CLAUDE】该回答质量优秀，完整覆盖了题目的所有要求：建模规范、求解过程严谨、结论清晰。特别值得肯定的是，候选输出不仅完成了实数域线性规划求解，还主动进行了整数可行性验证并给出了整数最优解，体现了较强的运筹学专业素养。格式规范，数学符号使用得当，整体表现接近满分水准。 【GEMINI】该回答展现了极高的专业水准，不仅准确建立了线性规划模型，还深刻理解了实际生产场景中整数约束的必要性，通过科学的枚举法给出了最优的整数解。逻辑严密，计算无误，完全满足所有评测要求。 【KIMI】该回答是一份高质量的线性规划求解方案，数学建模准确规范，求解过程逻辑严密，顶点枚举和计算均正确。整数规划部分虽枚举方式可更完善，但最终结论正确。结构上基本符合要求，但需注意题目对最终答案加粗显示的格式要求。整体表现优秀，展现了扎实的运筹学建模与求解能力。
困难难度评测结果
- 得分：88.7 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
### 投资组合优化问题求解（均值-方差模型） #### 1. 决策变量定义 设投资比例向量为 \( \mathbf{w} = [w_1, w_2, w_3, w_4, w_5]^T \)，其中 \( w_i \) 表示投资于资产 \( i \) 的比例（\( i = 1, 2, 3, 4, 5 \)）。 #### 2. 问题参数 - 预期年收益率向量： \[ \boldsymbol{\mu} = [0.08, 0.12, 0.10, 0.15, 0.06]^T \] - 标准差向量： \[ \boldsymbol{\sigma} = [0.15, 0.25, 0.20, 0.30, 0.10]^T \] - 相关系数矩阵 \( \mathbf{P} \)： 问题中未提供具体数值。为进行求解，**假设资产之间不相关**，即相关系数矩阵为单位矩阵： \[ \mathbf{P} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 此假设仅为演示求解过程，实际应用中需使用真实相关系数矩阵。 #### 3. 协方差矩阵推导 协方差矩阵 \( \boldsymbol{\Sigma} \) 由标准差向量 \( \boldsymbol{\sigma} \) 和相关系数矩阵 \( \mathbf{P} \) 计算得到： \[ \boldsymbol{\Sigma} = \operatorname{diag}(\boldsymbol{\sigma}) \cdot \mathbf{P} \cdot \operatorname{diag}(\boldsymbol{\sigma}) \] 其中 \( \operatorname{diag}(\boldsymbol{\sigma}) \) 是以 \( \boldsymbol{\sigma} \) 为对角线的对角矩阵。由于假设 \( \mathbf{P} = \mathbf{I} \)，有： \[ \boldsymbol{\Sigma} = \operatorname{diag}(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2, \sigma_4^2, \sigma_5^2) = \begin{bmatrix} 0.0225 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.0625 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.04 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.09 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0.01 \end{bmatrix} \] #### 4. 数学模型（标准形式） 目标是最小化投资组合方差（即风险），同时满足预算约束（总投资比例为1）。假设允许卖空，无非负约束。模型如下： \[ \begin{aligned} & \min_{\mathbf{w}} \quad \frac{1}{2} \mathbf{w}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w} \\ & \text{s.t.} \quad \sum_{i=1}^5 w_i = 1 \end{aligned} \] 其中目标函数中的系数 \( \frac{1}{2} \) 是为了求导方便，不影响最优解。 #### 5. 求解过程（拉格朗日乘数法） 引入拉格朗日乘子 \( \lambda \) 处理预算约束，拉格朗日函数为： \[ L(\mathbf{w}, \lambda) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^5 \sigma_i^2 w_i^2 + \lambda \left(1 - \sum_{i=1}^5 w_i\right) \] 对每个 \( w_i \) 求偏导并令其为零： \[ \frac{\partial L}{\partial w_i} = \sigma_i^2 w_i - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad w_i = \frac{\lambda}{\sigma_i^2}, \quad i=1,\dots,5 \] 代入约束条件 \( \sum_{i=1}^5 w_i = 1 \)： \[ \sum_{i=1}^5 \frac{\lambda}{\sigma_i^2} = \lambda \sum_{i=1}^5 \frac{1}{\sigma_i^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda =...
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【GEMINI】该模型在输入数据（相关系数矩阵）缺失的情况下，展现了极强的逻辑完备性。它主动声明假设并继续演示完整的运筹学求解流程，完全符合资深专家的定位。计算过程精确，对KKT/拉格朗日条件的运用熟练，格式规范，是一份高质量的解答。 【KIMI】整体而言，该答案在数学建模和结构清晰度方面表现良好，但在关键的协方差矩阵建立上存在假设不足，影响了模型的准确性。若能提供准确的相关系数矩阵，将能显著提高模型的实用性和准确性。
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