kimi-k3 在「数学建模与优化问题」的评测结果
这是该 AI 模型在此测试用例上的详细评测结果。
基本信息
- 模型名称：kimi-k3
- 用例名称：数学建模与优化问题
- 测试类型：文本生成
- 评测维度：数学能力
系统提示词（System Prompt）
这是给 AI 模型的背景设定和角色指令：
你是一名资深运筹学专家，擅长线性规划建模与求解。 回答要求： 1. 必须明确定义决策变量（Decision Variables），使用规范的数学符号表示。 2. 必须写出标准数学表达式，包括目标函数（Objective Function）和所有约束条件（Constraints）。 3. 必须详述求解过程，列出可行域的所有顶点并逐一代入目标函数进行比较。 4. 最终最优解（产品数量与最大利润）需加粗显示。 5. 回答结构清晰，按「建模 → 求解 → 结论」三段式展开。
用户提示词（User Prompt）
这是用户给 AI 模型的具体任务要求：
一家工厂每天生产两种产品 A 和 B，相关数据如下： | 资源消耗 | 产品 A（每个） | 产品 B（每个） | 每日可用上限 | |--------------|-------------|-------------|-----------| | 机器时间（小时） | 2 | 3 | 18 | | 原材料（千克） | 3 | 2 | 20 | | 单位利润（元） | 50 | 40 | — | 约束说明： - 产品数量必须为非负整数（本题可先在实数范围内求解，再验证整数可行性）。 - 工厂每天机器时间不超过 18 小时，原材料不超过 20 千克。 请完成以下任务： 1. 建立线性规划数学模型（定义决策变量、写出目标函数与约束条件）。 2. 用图解法（或逐顶点枚举法）求解可行域的所有顶点。 3. 计算各顶点处的目标函数值，确定最优解。 4. 给出结论：工厂每天应生产多少个 A 和 B，最大利润是多少元？
任务要求
AI 模型需要满足以下要求：
- 正确定义决策变量（如令 x 为产品 A 的日产量，y 为产品 B 的日产量），并说明其含义与非负性。
- 目标函数表达式正确（max Z = 50x + 40y），约束不等式完整且方向正确（≤ 形式）。
- 正确列出可行域的所有顶点坐标（至少包含原点、两轴截距点及两约束线交点）。
- 逐一将各顶点代入目标函数，计算结果无误，并正确判断最大值点。
- 最终结论明确给出最优产量组合与对应最大利润数值。
- 求解过程逻辑连贯，步骤清晰，无跳步或计算错误。
评测结果
综合得分
该模型在此用例的得分为：90.0 分（满分 100 分），已通过
基础难度评测结果
- 得分：90.0 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
# 一、建模（线性规划模型） ## 1. 决策变量（Decision Variables） 设： - $x_1$ = 每天生产产品 A 的数量（个） - $x_2$ = 每天生产产品 B 的数量（个） ## 2. 目标函数（Objective Function） $$\max \quad Z = 50x_1 + 40x_2$$ ## 3. 约束条件（Constraints） $$\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 \le 18 & \text{（机器时间约束）} \\ 3x_1 + 2x_2 \le 20 & \text{（原材料约束）} \\ x_1,\ x_2 \ge 0 & \text{（非负约束，先按实数求解）} \end{cases}$$ --- # 二、求解（顶点枚举法） ## 1. 确定可行域顶点 可行域由两条资源约束线与两坐标轴围成。考察各边界线的交点： **（1）原点 $O(0, 0)$**：$x_1=0$ 与 $x_2=0$ 的交点。 **（2）$x_1$ 轴上的点**：令 $x_2=0$ - 机器约束给出 $x_1 = 9$，但代入原材料约束：$3\times 9 = 27 > 20$，**不可行，舍去**； - 原材料约束给出 $x_1 = \dfrac{20}{3}$，代入机器约束：$2\times\dfrac{20}{3} = \dfrac{40}{3} \approx 13.3 \le 18$ ✓，得顶点 $A\left(\dfrac{20}{3}, 0\right)$。 **（3）$x_2$ 轴上的点**：令 $x_1=0$ - 原材料约束给出 $x_2 = 10$，但代入机器约束：$3\times 10 = 30 > 18$，**不可行，舍去**； - 机器约束给出 $x_2 = 6$，代入原材料约束：$2\times 6 = 12 \le 20$ ✓，得顶点 $C(0, 6)$。 **（4）两约束直线的交点 $B$**：联立求解 $$\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 = 18 \\ 3x_1 + 2x_2 = 20 \end{cases}$$ 第一式 ×3、第二式 ×2 后相减：$5x_2 = 14 \Rightarrow x_2 = \dfrac{14}{5} = 2.8$ 代回：$2x_1 = 18 - 3\times 2.8 = 9.6 \Rightarrow x_1 = \dfrac{24}{5} = 4.8$ 得顶点 $B(4.8,\ 2.8)$。 > **图解验证**：目标函数等值线斜率为 $-\dfrac{50}{40} = -\dfrac{5}{4}$，介于两约束线斜率 $-\dfrac{3}{2}$ 与 $-\dfrac{2}{3}$ 之间，故最优点必为两约束线的交点 $B$，与枚举结果一致。 ## 2. 逐顶点代入目标函数 | 顶点 | 坐标 $(x_1, x_2)$ | $Z = 50x_1 + 40x_2$（元） | |------|------------------|---------------------------| | $O$ | $(0,\ 0)$ | $0$ | | $A$ | $\left(\dfrac{20}{3},\ 0\right)$ | $\dfrac{1000}{3} \approx 333.33$ | | $B$ | $(4.8,\ 2.8)$ | $240 + 112 = \mathbf{352}$ ← 最大 | | $C$ | $(0,\ 6)$ | $240$ | 实数最优解：$x_1^* = 4.8,\ x_2^* = 2.8$，$Z^* = 352$ 元。 ## 3. 整数可行性验证 $(4.8, 2.8)$ 不是整数解，需在最优点附近枚举整数点： | 整数点 | 机器 $2x_1{+}3x_2 \le 18$ | 原料 $3x_1{+}2x_2 \le 20$ | $Z$（元） | |--------|------|------|------| | $(4, 2)$ | 14 ✓ | 16 ✓ | 280 | | $(4, 3)$ | 17 ✓ | 18 ✓ | 320 | | $(5, 2)$ | 16 ✓ | 19 ✓ | 330 | | $(6, 1)$ | 15 ✓ | 20 ✓ | **340** ← 整数最优 | | $(5, 3)$ | 19 ✗ | — | 不可行 | | $(6, 2)$ | 18 ✓ | 22 ✗ | 不可行 | --- # 三、结论 - **线性规划（实数）最优解：每天生产产品 A 4.8 个、产品 B 2.8 个，最大利润为 352...
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【KIMI】该回答整体质量优秀，数学建模规范准确，求解过程逻辑清晰，结构完整。决策变量、目标函数和约束条件均正确建立。顶点枚举完整且计算准确，实数最优解正确。整数可行性验证体现了对题目要求的完整响应，但整数枚举过程略显随意，未采用系统性的枚举策略（如在交点附近构建完整网格）。最终结论明确区分了理论最优和实际整数最优，加粗显示关键结果。总体达到资深运筹学专家的专业水准。
进阶难度评测结果
- 得分：67.0 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
## 1. 平衡性判断 总供应量： \[ 100+150+120=370 \] 总需求量： \[ 80+60+70+90+50=350 \] 供应量大于需求量，差额为： \[ 370-350=20 \] 因此该运输问题**不平衡**，为“供大于求”型。处理方法：引入一个**虚拟客户点** \(D6\)，其需求量为 20，且从任一配送中心到 \(D6\) 的单位运输成本为 0，即 \[ c_{16}=c_{26}=c_{36}=0,\qquad b_6=20 \] 平衡后总供应 = 总需求 = 370。\(x_{i6}\) 实际表示配送中心 \(S_i\) 未被使用的产能。 --- ## 2. 数学规划模型 令 \[ x_{ij}\ge 0 \] 表示从配送中心 \(S_i\) 到客户点 \(D_j\) 的运输量，其中 \(i=1,2,3\)，\(j=1,\dots,6\)。当 \(j=6\) 时，\(x_{i6}\) 为 \(S_i\) 的剩余产能。 供应向量为 \[ a=(100,150,120) \] 平衡后的需求向量为 \[ b=(80,60,70,90,50,20) \] 标准平衡运输模型为： \[ \min Z=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{6} c_{ij}x_{ij} \] 由于 \(c_{i6}=0\)，等价于 \[ \min Z=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{5} c_{ij}x_{ij} \] 约束条件： 供应约束： \[ \sum_{j=1}^{6}x_{ij}=a_i,\qquad i=1,2,3 \] 即 \[ \sum_{j=1}^{6}x_{1j}=100 \] \[ \sum_{j=1}^{6}x_{2j}=150 \] \[ \sum_{j=1}^{6}x_{3j}=120 \] 需求约束： \[ \sum_{i=1}^{3}x_{ij}=b_j,\qquad j=1,\dots,6 \] 即 \[ \sum_{i=1}^{3}x_{i1}=80 \] \[ \sum_{i=1}^{3}x_{i2}=60 \] \[ \sum_{i=1}^{3}x_{i3}=70 \] \[ \sum_{i=1}^{3}x_{i4}=90 \] \[ \sum_{i=1}^{3}x_{i5}=50 \] \[ \sum_{i=1}^{3}x_{i6}=20 \] 非负约束： \[ x_{ij}\ge 0,\qquad i=1,2,3;\ j=1,\dots,6 \] 等价地，原始真实客户问题中供应约束可写为 \(\sum_{j=1}^5 x_{ij}\le a_i\)，需求约束为 \(\sum_{i=1}^3 x_{ij}=b_j\)。 --- ## 3. 最小费用法求初始可行解 平衡后的单位成本表为： | | D1 | D2 | D3 | D4 | D5 | D6 | |--------|----|----|----|----|----|----| | S1 | 8 | 6 | 10 | 9 | 7 | 0 | | S2 | 9 | 12 | 13 | 7 | 8 | 0 | | S3 | 14 | 9 | 16 | 5 | 10 | 0 | 最小费用法中，三个虚拟列成本均为 0，存在平局。这里任意选择 \((S3,D6)\) 先行分配。 分配过程如下： 1. \((S3,D6)\)：\(x_{36}=\min(120,20)=20\)，剩余 \(S3=100,\ D6=0\)。 2. 最小成本为 \(c_{34}=5\)：\(x_{34}=\min(100,90)=90\)，剩余 \(S3=10,\ D4=0\)。 3. 最小成本为 \(c_{12}=6\)：\(x_{12}=\min(100,60)=60\)，剩余 \(S1=40,\ D2=0\)。 4. 最小可用成本为 \(c_{15}=7\)：\(x_{15}=\min(40,50)=40\)，剩余 \(S1=0,\ D5=10\)。 5. \(c_{25}=8\)：\(x_{25}=\min(150,10)=10\)，剩余 \(S2=140,\ D5=0\)。 6. \(c_{21}=9\)：\(x_{21}=\min(140,80)=80\)，剩余 \(S2=60,\ D1=0\)。 7. 剩余需求主要为 \(D3=70\)，可用供应为 \(S2=60,\ S3=10\)。选 \(c_{23}=13\)：\(x_{23}=60\)，剩余 \(S2=0,\ D3=10\)。 8. 最后 \(x_{33}=10\)，剩余 \(S3=0,\ D3=0\)。 初始可行解如下，空格表示 0： | 初始解...
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【KIMI】该候选答案在模型建立和结构呈现方面表现优秀，但存在致命的计算错误。最小费用法初始解的分配过程中供应剩余量计算出现前后矛盾（S2剩余60 vs 实际70），MODI迭代过程中的位势值和检验数计算存在系统性偏差，导致最终错误地收敛到2720元而非正确答案3100元。具体而言，候选答案在第二次迭代后错误地认为所有检验数非负而停止，但实际上此时仍存在可改进的空间。结构上的优秀无法弥补核心计算结果的错误，这是一个典型的'过程完整但结果错误'的案例，在实际工程应用中会导致严重的决策失误。
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