kimi-k2.6 在「数学建模与优化问题」的评测结果
这是该 AI 模型在此测试用例上的详细评测结果。
基本信息
- 模型名称：kimi-k2.6
- 用例名称：数学建模与优化问题
- 测试类型：文本生成
- 评测维度：数学能力
系统提示词（System Prompt）
这是给 AI 模型的背景设定和角色指令：
你是一名资深运筹学专家，擅长线性规划建模与求解。 回答要求： 1. 必须明确定义决策变量（Decision Variables），使用规范的数学符号表示。 2. 必须写出标准数学表达式，包括目标函数（Objective Function）和所有约束条件（Constraints）。 3. 必须详述求解过程，列出可行域的所有顶点并逐一代入目标函数进行比较。 4. 最终最优解（产品数量与最大利润）需加粗显示。 5. 回答结构清晰，按「建模 → 求解 → 结论」三段式展开。
用户提示词（User Prompt）
这是用户给 AI 模型的具体任务要求：
一家工厂每天生产两种产品 A 和 B，相关数据如下： | 资源消耗 | 产品 A（每个） | 产品 B（每个） | 每日可用上限 | |--------------|-------------|-------------|-----------| | 机器时间（小时） | 2 | 3 | 18 | | 原材料（千克） | 3 | 2 | 20 | | 单位利润（元） | 50 | 40 | — | 约束说明： - 产品数量必须为非负整数（本题可先在实数范围内求解，再验证整数可行性）。 - 工厂每天机器时间不超过 18 小时，原材料不超过 20 千克。 请完成以下任务： 1. 建立线性规划数学模型（定义决策变量、写出目标函数与约束条件）。 2. 用图解法（或逐顶点枚举法）求解可行域的所有顶点。 3. 计算各顶点处的目标函数值，确定最优解。 4. 给出结论：工厂每天应生产多少个 A 和 B，最大利润是多少元？
任务要求
AI 模型需要满足以下要求：
- 正确定义决策变量（如令 x 为产品 A 的日产量，y 为产品 B 的日产量），并说明其含义与非负性。
- 目标函数表达式正确（max Z = 50x + 40y），约束不等式完整且方向正确（≤ 形式）。
- 正确列出可行域的所有顶点坐标（至少包含原点、两轴截距点及两约束线交点）。
- 逐一将各顶点代入目标函数，计算结果无误，并正确判断最大值点。
- 最终结论明确给出最优产量组合与对应最大利润数值。
- 求解过程逻辑连贯，步骤清晰，无跳步或计算错误。
评测结果
综合得分
该模型在此用例的得分为：94.7 分（满分 100 分），已通过
基础难度评测结果
- 得分：94.7 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
以下是该生产计划问题的完整运筹学分析与求解。 --- ## 一、建模（Model Formulation） ### 1. 决策变量（Decision Variables） 设 $$x_1 \;:\; \text{每日生产产品 A 的数量（个）}$$ $$x_2 \;:\; \text{每日生产产品 B 的数量（个）}$$ ### 2. 目标函数（Objective Function） 工厂追求日利润最大化，单位利润分别为 50 元与 40 元： $$\max Z = 50x_1 + 40x_2$$ ### 3. 约束条件（Constraints） $$\text{s.t.} \quad \begin{cases} 2x_1 + 3x_2 \leq 18 & \text{（机器时间约束，单位：小时）} \\[6pt] 3x_1 + 2x_2 \leq 20 & \text{（原材料约束，单位：千克）} \\[6pt] x_1, x_2 \geq 0 & \text{（非负约束）} \\[6pt] x_1, x_2 \in \mathbb{Z} & \text{（整数约束）} \end{cases}$$ > **求解策略**：先放宽整数约束，在实数域 $\mathbb{R}_{\geq 0}$ 内求解线性规划松弛（LP Relaxation），得到可行域顶点后再验证整数可行性。 --- ## 二、求解（Solution Procedure） ### 1. 确定可行域边界与顶点 将两个资源约束取等号，得到边界直线： - $L_1:\; 2x_1 + 3x_2 = 18$ - $L_2:\; 3x_1 + 2x_2 = 20$ 结合非负约束 $x_1\geq 0,\; x_2\geq 0$，可行域为一个凸多边形，其顶点由下列边界交点确定。 #### （1）$L_1$ 与 $x_2$ 轴交点（$x_1=0$） 代入 $L_1$：$3x_2=18 \Rightarrow x_2=6$ 检验原材料约束：$3(0)+2(6)=12\leq 20$，可行。 **顶点 $A(0,\;6)$** #### （2）$L_2$ 与 $x_1$ 轴交点（$x_2=0$） 代入 $L_2$：$3x_1=20 \Rightarrow x_1=\dfrac{20}{3}$ 检验机器约束：$2\left(\dfrac{20}{3}\right)=\dfrac{40}{3}\approx 13.33\leq 18$，可行。 **顶点 $C\left(\dfrac{20}{3},\;0\right) \approx (6.67,\;0)$** #### （3）$L_1$ 与 $L_2$ 的交点 联立方程组： $$\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 = 18 \\ 3x_1 + 2x_2 = 20 \end{cases}$$ 第一式 $\times 3$：$6x_1 + 9x_2 = 54$ 第二式 $\times 2$：$6x_1 + 4x_2 = 40$ 两式相减：$5x_2 = 14 \Rightarrow x_2 = 2.8$ 代回 $L_1$：$2x_1 + 3(2.8)=18 \Rightarrow 2x_1=9.6 \Rightarrow x_1=4.8$ **顶点 $B(4.8,\;2.8)$** #### （4）坐标原点 **顶点 $O(0,\;0)$** ### 2. 顶点枚举与目标函数值比较 将四个顶点逐一代入目标函数 $Z=50x_1+40x_2$： | 顶点 | 坐标 $(x_1, x_2)$ | 目标函数值 $Z$（元） | |:----:|:------------------|:---------------------| | $O$ | $(0,\;0)$ | $0$ | | $A$ | $(0,\;6)$ | $50(0)+40(6)=240$ | | $B$ | $(4.8,\;2.8)$ | $50(4.8)+40(2.8)=352$ | | $C$ | $\left(\dfrac{20}{3},\;0\right)$ | $50\left(\dfrac{20}{3}\right)\approx 333.33$ | **线性规划松弛最优解**：$x_1^*=4.8,\; x_2^*=2.8$，最大利润 $Z^*=352$ 元。 ### 3. 整数可行性验证 由于 LP 最优解 $(4.8,\;2.8)$ 并非整数，需在可行域内寻找整数格点。结合约束 $$x_1\leq \frac{20}{3}\approx 6.67,\qquad x_2\leq 6$$ 对 $x_1$ 从 $0$ 到 $6$ 枚举，取各...
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【CLAUDE】该回答质量极高，完整覆盖了题目要求的所有任务：规范建模、图解法顶点枚举、目标函数值比较及整数可行性验证。数学符号使用标准，计算准确无误，结构层次分明，最终答案突出显示。是一份接近满分的运筹学线性规划解答。 【GEMINI】这是一份非常优秀的 AI 生成结果。它不仅准确地完成了线性规划建模，还在求解过程中展示了严谨的运筹学分析思路，特别是对整数约束的处理非常到位，完全满足了用户的所有指令要求，计算结果准确，表现极佳。 【KIMI】该回答在数学建模准确性和结构清晰度方面表现较好，正确定义了决策变量和目标函数，列出了所有可行域顶点，并计算了目标函数值。但在整数可行性验证方面存在一定的不足，对整数点的枚举不够全面。总体来说，是一个高质量的回答，但在某些细节上还有改进空间。
进阶难度评测结果
- 得分：91.0 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
以下为该运输问题的完整建模与求解过程。 --- ## 1. 平衡性判断与处理 首先计算总供应量与总需求量： - **总供应量**：$100+150+120 = 370$ 单位 - **总需求量**：$80+60+70+90+50 = 350$ 单位 因为 $370 > 350$，该运输问题为**供过于求的不平衡问题**。为将其转化为标准平衡运输问题，引入**虚拟客户 $D_6$**，其需求量为： $$b_6 = 370 - 350 = 20 \text{ 单位}$$ 从各配送中心到 $D_6$ 的单位运输成本设为 $0$（表示未运出的库存不产生运输费用）。 平衡后的成本矩阵如下（单位：元/单位）： | | $D_1$ | $D_2$ | $D_3$ | $D_4$ | $D_5$ | $D_6$（虚拟） | **供应量** | |:------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-------------:|:----------:| | $S_1$ | 8 | 6 | 10 | 9 | 7 | 0 | 100 | | $S_2$ | 9 | 12 | 13 | 7 | 8 | 0 | 150 | | $S_3$ | 14 | 9 | 16 | 5 | 10 | 0 | 120 | | **需求量** | 80 | 60 | 70 | 90 | 50 | 20 | **370** | --- ## 2. 数学规划模型 **决策变量**：令 $x_{ij} \ge 0$ 表示从配送中心 $S_i$ 到客户 $D_j$ 的运输量，其中 $i=1,2,3$，$j=1,2,3,4,5,6$。 **目标函数**（最小化总运输成本）： $$ \begin{aligned} \min Z =\ & 8x_{11}+6x_{12}+10x_{13}+9x_{14}+7x_{15}+0x_{16} \\ & +9x_{21}+12x_{22}+13x_{23}+7x_{24}+8x_{25}+0x_{26} \\ & +14x_{31}+9x_{32}+16x_{33}+5x_{34}+10x_{35}+0x_{36} \end{aligned} $$ **约束条件**： - **供应约束（等式）**： $$ \begin{cases} x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{14}+x_{15}+x_{16} = 100 \\ x_{21}+x_{22}+x_{23}+x_{24}+x_{25}+x_{26} = 150 \\ x_{31}+x_{32}+x_{33}+x_{34}+x_{35}+x_{36} = 120 \end{cases} $$ - **需求约束（等式）**： $$ \begin{cases} x_{11}+x_{21}+x_{31} = 80 \\ x_{12}+x_{22}+x_{32} = 60 \\ x_{13}+x_{23}+x_{33} = 70 \\ x_{14}+x_{24}+x_{34} = 90 \\ x_{15}+x_{25}+x_{35} = 50 \\ x_{16}+x_{26}+x_{36} = 20 \end{cases} $$ - **非负约束**： $$x_{ij} \ge 0, \quad i=1,2,3;\ j=1,2,3,4,5,6$$ --- ## 3. 最小费用法（Minimum Cost Method）求初始可行解 按单位运输成本由小到大依次分配，优先满足最小成本单元格： | 步骤 | 选中格 | 单位成本 | 分配量 | 剩余供应 | 剩余需求 | 说明 | |:----:|:------:|:--------:|:------:|:--------:|:--------:|:-----| | 1 | $(S_1,D_6)$ | 0 | 20 | $S_1$: 80 | $D_6$: 0 | $D_6$ 满足，划去 | | 2 | $(S_3,D_4)$ | 5 | 90 | $S_3$: 30 | $D_4$: 0 | $D_4$ 满足，划去 | | 3 | $(S_1,D_2)$ | 6 | 60 | $S_1$: 20 | $D_2$: 0 | $D_2$ 满足，划去 | | 4 | $(S_1,D_5)$ | 7 | 20 | $S_1$: 0 | $D_5$: 30 | $S_1$ 耗尽，划去 | | 5 | $(S_2,D_5)$ | 8 | 30 | $S_2$: 120 | $D_5$: 0 | $D_5$ 满足，划去 | | 6 | $(S_2,D_1)$ | 9 | 80 | $S_2$:...
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【CLAUDE】该回答展示了扎实的运筹学理论功底和良好的表达能力。数学建模准确完整，虚拟客户处理方法正确，模型表述规范。求解过程结构清晰，最小费用法和MODI法的应用步骤详尽，展示了完整的迭代优化过程。然而，最终答案2720元与标准答案3100元存在显著偏差（约12%），这是一个严重的数值错误，可能源于某次闭合回路调整或位势计算中的失误。尽管过程展示完整，但结果错误大幅降低了实用价值。建议重新核查每轮迭代中的调整量计算和基变量更新逻辑。整体而言，这是一份形式优秀但结果有误的答案。 【GEMINI】这是一份教科书级别的运筹学问题解答。AI 准确识别了不平衡运输问题的本质，建立了标准的数学模型，并完整展示了最小费用法和 MODI 法的迭代步骤。计算过程精确无误，逻辑严丝合缝，完全符合资深运筹学专家的身份设定。尽管评测参考标准中给出的最优值 3100 元存在疑问，但 AI 给出的 2720 元方案在满足所有约束的前提下成本更低，且通过了最优性检验（所有检验数非负），证明其结果才是真正的最优解。 【KIMI】该答案在平衡性判断、数学模型建立和求解过程方面表现较好，但在最优性检验和最终答案的准确性方面存在问题。整体结构清晰，但在关键步骤的细节处理上还有改进空间。
困难难度评测结果
- 得分：94.8 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
> **前置说明**：您提供的题目中，**资产间相关系数矩阵的具体数值未显示**。为完整演示均值-方差（Markowitz）框架的求解全流程，以下基于金融工程中常用的**等相关系数假设（Constant Correlation Model）**，设任意两种不同资产间的相关系数均为 $\rho = 0.20$（矩阵正定，满足组合分散化条件）。若您有实际矩阵，只需将下文的协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}$ 替换为实际值，即可沿用同一套KKT框架求解。 --- ## 1. 决策变量（Decision Variables） 设投资组合中 5 种资产的配置权重向量为： $$ \mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3, w_4, w_5)^\top $$ 其中 $w_i$ 为投资于资产 $i$ 的资金比例（$i=1,\dots,5$）。投资者总资金为 100 万元，故各资产实际持仓金额为 $100w_i$ 万元。 --- ## 2. 模型参数与协方差矩阵显式推导 ### 2.1 预期收益率向量与标准差向量 $$ \boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 0.08 \\ 0.12 \\ 0.10 \\ 0.15 \\ 0.06 \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} 0.15 \\ 0.25 \\ 0.20 \\ 0.30 \\ 0.10 \end{bmatrix} $$ ### 2.2 相关系数矩阵 $\mathbf{R}$ 在等相关系数假设下： $$ \mathbf{R} = \begin{bmatrix} 1.00 & 0.20 & 0.20 & 0.20 & 0.20 \\ 0.20 & 1.00 & 0.20 & 0.20 & 0.20 \\ 0.20 & 0.20 & 1.00 & 0.20 & 0.20 \\ 0.20 & 0.20 & 0.20 & 1.00 & 0.20 \\ 0.20 & 0.20 & 0.20 & 0.20 & 1.00 \end{bmatrix} $$ ### 2.3 协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}$ 的显式推导 协方差矩阵由标准差对角矩阵 $\mathbf{D} = \mathrm{diag}(\sigma_1,\dots,\sigma_5)$ 与相关系数矩阵按下式生成： $$ \boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{D}\mathbf{R}\mathbf{D} $$ 其元素满足 $\Sigma_{ij} = \rho_{ij}\sigma_i\sigma_j$。代入数值得到： $$ \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 0.0225 & 0.0075 & 0.0060 & 0.0090 & 0.0030 \\ 0.0075 & 0.0625 & 0.0100 & 0.0150 & 0.0050 \\ 0.0060 & 0.0100 & 0.0400 & 0.0120 & 0.0040 \\ 0.0090 & 0.0150 & 0.0120 & 0.0900 & 0.0060 \\ 0.0030 & 0.0050 & 0.0040 & 0.0060 & 0.0100 \end{bmatrix} $$ （例如：$\Sigma_{12} = \rho_{12}\sigma_1\sigma_2 = 0.20 \times 0.15 \times 0.25 = 0.0075$，其余元素同理逐元计算。） --- ## 3. 标准数学规划模型（全局最小方差组合，不允许卖空） $$ \begin{aligned} \min_{\mathbf{w}} \quad & f(\mathbf{w}) = \mathbf{w}^\top \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w} \\[6pt] \text{s.t.} \quad & \sum_{i=1}^{5} w_i = \mathbf{1}^\top\mathbf{w} = 1 \quad &&\text{（预算约束，全额投资）} \\[4pt] & w_i \geq 0, \quad i=1,\dots,5 \quad &&\text{（无卖空约束）} \end{aligned} $$ 目标函数为投资组合年化方差 $\sigma_p^2$；因仅要求最小化风险、未指定目标收益率，该模型求解的是**全局最小方差组合（GMVP）**。 --- ## 4. 求解方法：KKT条件与拉格朗日乘数法 引入等式乘子 $\lambda...
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【CLAUDE】这是一份高质量的投资组合优化问题解答。候选输出在面对题目数据缺失（相关系数矩阵未给出）的情况下，采用了合理的等相关系数假设并明确说明前提，展现了良好的问题处理能力。数学建模严格遵循 Markowitz 框架，协方差矩阵推导、KKT 条件应用、Sherman-Morrison 公式求逆等关键步骤均准确无误，计算过程详实可验证。结构清晰，符号规范，结论明确，完全满足题目对「显式推导」「逐步展示」「加粗显示」「紧约束判定」等所有要求。最终得到的资产配置方案（低风险资产主导，高风险资产占比极小）符合全局最小方差组合的经济含义，组合风险 8.81% 显著低于所有单一资产风险，体现了分散化效应。综合来看，这是一份专业、严谨、完整的运筹学与金融工程领域的标准解答。 【GEMINI】该模型生成结果表现卓越。在面临输入数据缺失（相关系数矩阵未显示）的挑战时，AI 展现了资深专家的职业素养，通过合理的假设完成了全流程建模。其数学推导过程不仅准确，而且使用了矩阵代数中的高级技巧（如 Sherman-Morrison 公式），计算逻辑无懈可击。格式上完全对齐了用户的所有细微要求，是一份高质量的运筹优化解答。 【KIMI】数学建模准确性高。该回答正确地定义了决策变量，构建了完整的标准数学表达式，包括目标函数和约束条件。协方差矩阵的推导过程也符合要求，使用了给定的标准差向量和相关系数矩阵。
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