glm-5.2 在「数学建模与优化问题」的评测结果
这是该 AI 模型在此测试用例上的详细评测结果。
基本信息
- 模型名称：glm-5.2
- 用例名称：数学建模与优化问题
- 测试类型：文本生成
- 评测维度：数学能力
系统提示词（System Prompt）
这是给 AI 模型的背景设定和角色指令：
你是一名资深运筹学专家，擅长线性规划建模与求解。 回答要求： 1. 必须明确定义决策变量（Decision Variables），使用规范的数学符号表示。 2. 必须写出标准数学表达式，包括目标函数（Objective Function）和所有约束条件（Constraints）。 3. 必须详述求解过程，列出可行域的所有顶点并逐一代入目标函数进行比较。 4. 最终最优解（产品数量与最大利润）需加粗显示。 5. 回答结构清晰，按「建模 → 求解 → 结论」三段式展开。
用户提示词（User Prompt）
这是用户给 AI 模型的具体任务要求：
一家工厂每天生产两种产品 A 和 B，相关数据如下： | 资源消耗 | 产品 A（每个） | 产品 B（每个） | 每日可用上限 | |--------------|-------------|-------------|-----------| | 机器时间（小时） | 2 | 3 | 18 | | 原材料（千克） | 3 | 2 | 20 | | 单位利润（元） | 50 | 40 | — | 约束说明： - 产品数量必须为非负整数（本题可先在实数范围内求解，再验证整数可行性）。 - 工厂每天机器时间不超过 18 小时，原材料不超过 20 千克。 请完成以下任务： 1. 建立线性规划数学模型（定义决策变量、写出目标函数与约束条件）。 2. 用图解法（或逐顶点枚举法）求解可行域的所有顶点。 3. 计算各顶点处的目标函数值，确定最优解。 4. 给出结论：工厂每天应生产多少个 A 和 B，最大利润是多少元？
任务要求
AI 模型需要满足以下要求：
- 正确定义决策变量（如令 x 为产品 A 的日产量，y 为产品 B 的日产量），并说明其含义与非负性。
- 目标函数表达式正确（max Z = 50x + 40y），约束不等式完整且方向正确（≤ 形式）。
- 正确列出可行域的所有顶点坐标（至少包含原点、两轴截距点及两约束线交点）。
- 逐一将各顶点代入目标函数，计算结果无误，并正确判断最大值点。
- 最终结论明确给出最优产量组合与对应最大利润数值。
- 求解过程逻辑连贯，步骤清晰，无跳步或计算错误。
评测结果
综合得分
该模型在此用例的得分为：94.4 分（满分 100 分），已通过
基础难度评测结果
- 得分：94.4 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
### 一、建模 **1. 决策变量定义** 令 $x_A$ 表示工厂每天生产产品 A 的数量； 令 $x_B$ 表示工厂每天生产产品 B 的数量。 **2. 目标函数** 目标是最大化每日总利润，单位利润分别为 50 元和 40 元，因此目标函数为： $$ \max Z = 50x_A + 40x_B $$ **3. 约束条件** 根据题目给出的资源限制和变量非负性（暂在实数范围内求解），约束条件如下： $$ \begin{cases} 2x_A + 3x_B \le 18 & \text{(机器时间约束)} \\ 3x_A + 2x_B \le 20 & \text{(原材料约束)} \\ x_A \ge 0, x_B \ge 0 & \text{(非负约束)} \end{cases} $$ --- ### 二、求解 **1. 寻找可行域的所有顶点** 线性规划的最优解必然在可行域的顶点上取得。我们通过求解约束条件边界线的交点来列举所有顶点： * **顶点 $V_1$**：两坐标轴交点 $x_A = 0, x_B = 0 \implies V_1(0, 0)$ * **顶点 $V_2$**：$x_A = 0$ 与机器时间约束 $2x_A + 3x_B = 18$ 的交点 代入得 $3x_B = 18 \implies x_B = 6$。代入原材料约束检验：$3(0) + 2(6) = 12 \le 20$，满足。 $\implies V_2(0, 6)$ * **顶点 $V_3$**：$x_B = 0$ 与原材料约束 $3x_A + 2x_B = 20$ 的交点 代入得 $3x_A = 20 \implies x_A = \frac{20}{3}$。代入机器时间约束检验：$2(\frac{20}{3}) + 3(0) = \frac{40}{3} \approx 13.33 \le 18$，满足。 $\implies V_3(\frac{20}{3}, 0)$ * **顶点 $V_4$**：机器时间约束 $2x_A + 3x_B = 18$ 与原材料约束 $3x_A + 2x_B = 20$ 的交点 联立方程组： $ \begin{cases} 2x_A + 3x_B = 18 \\ 3x_A + 2x_B = 20 \end{cases} $ 第一个方程乘以 3 减去第二个方程乘以 2： $(6x_A + 9x_B) - (6x_A + 4x_B) = 54 - 40$ $5x_B = 14 \implies x_B = 2.8$ 代入第一个方程得：$2x_A + 3(2.8) = 18 \implies 2x_A = 9.6 \implies x_A = 4.8$ $\implies V_4(4.8, 2.8)$ **2. 逐顶点代入目标函数进行比较** 计算各顶点处的目标函数值 $Z = 50x_A + 40x_B$： * $Z(V_1) = 50(0) + 40(0) = 0$ * $Z(V_2) = 50(0) + 40(6) = 240$ * $Z(V_3) = 50(\frac{20}{3}) + 40(0) = \frac{1000}{3} \approx 333.33$ * $Z(V_4) = 50(4.8) + 40(2.8) = 240 + 112 = 352$ 在实数范围内，最优解为 $V_4(4.8, 2.8)$，最大利润为 352 元。 **3. 整数可行性验证** 由于题目要求产品数量必须为非负整数，而 $V_4$ 的坐标为 $(4.8, 2.8)$ 不满足整数要求。我们需要在其附近寻找满足所有约束条件的整数点（即整数规划）。 考察最优实数顶点附近的整数组合： * $(5, 3)$：机器时间 $2(5)+3(3)=19 > 18$ （不可行） * $(5, 2)$：机器时间 $2(5)+3(2)=16 \le 18$，原材料 $3(5)+2(2)=19 \le 20$ （可行），$Z = 50(5) + 40(2) = 330$ * $(4, 3)$：机器时间 $2(4)+3(3)=17 \le 18$，原材料 $3(4)+2(3)=18 \le 20$ （可行），$Z = 50(4) + 40(3) = 320$ * $(6, 1)$：机器时间 $2(6)+3(1)=15 \le 18$，原材料 $3(6)+2(1)=20 \le 20$ （可行），$Z = 50(6) + 40(1) = 340$ * $(6, 2)$：原材料 $3(6)+2(2)=22 > 20$ （不可行） 经过枚举比对，最优的整数可行解为 $(6, 1)$，其对应的目标函数值为 340...
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【CLAUDE】该回答质量优秀，完整覆盖了线性规划建模的所有关键要素：决策变量定义明确、目标函数与约束条件正确完整、顶点枚举全面且带有可行性验证、计算结果准确。额外完成了整数规划的验证（题目要求「验证整数可行性」），并通过系统枚举找到了真正最优的整数解 $(6,1)$ 对应利润 340 元，体现了较高的专业水准。结构清晰，格式规范，符合题目所有显式要求。 【GEMINI】该模型生成结果表现卓越。AI 不仅准确完成了线性规划的标准建模与顶点求解，还非常敏锐地处理了题目中提到的整数可行性验证，通过对最优实数解附近的整数点进行逻辑筛选，给出了正确的整数最优解（6, 1）。回答结构严谨，计算过程透明，是一份高质量的运筹学问题解答。 【KIMI】该候选输出是一份高质量的线性规划求解报告。数学模型建立准确规范，求解过程逻辑严密，顶点枚举完整且计算无误。特别值得肯定的是，候选输出不仅完成了题目要求的实数范围求解，还主动进行了整数可行性验证，体现了更强的实际问题解决能力。与参考答案相比，变量符号选择不同（x_A/x_B vs x/y）但完全等价，最终整数最优解(6,1)利润340元是合理的工程实践答案。整体结构清晰，符合专业运筹学报告的写作规范。
进阶难度评测结果
- 得分：74.8 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
你好！作为一名运筹学专家，我将为你详细建立该运输问题的数学模型，并使用最小费用法与MODI法进行逐步求解。 ### 1. 供需平衡判断与处理 首先，计算总供应量与总需求量： - 总供应量 = 100 (S1) + 150 (S2) + 120 (S3) = 370 单位 - 总需求量 = 80 (D1) + 60 (D2) + 70 (D3) + 90 (D4) + 50 (D5) = 350 单位 因为 **总供应量 (370) > 总需求量 (350)**，该问题属于**供大于求的不平衡运输问题**。 **处理方法**：需引入一个**虚拟需求点 D6**，其需求量为 370 - 350 = 20 单位。由于这20单位货物实际并不发生运输，各配送中心到虚拟需求点 D6 的单位运输成本记为 0。 --- ### 2. 数学规划模型 **决策变量**： 定义 $x_{ij}$ 为从配送中心 $i$ 到客户 $j$ 的运输量（$i \in \{1,2,3\}, j \in \{1,2,3,4,5,6\}$）。其中 $j=6$ 代表虚拟需求点。 **目标函数**： 最小化总运输成本： $$ \min Z = 8x_{11} + 6x_{12} + 10x_{13} + 9x_{14} + 7x_{15} + 0x_{16} + 9x_{21} + 12x_{22} + 13x_{23} + 7x_{24} + 8x_{25} + 0x_{26} + 14x_{31} + 9x_{32} + 16x_{33} + 5x_{34} + 10x_{35} + 0x_{36} $$ **约束条件**： 1. 供应约束（各配送中心发出量等于其供应量）： $$ x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{14} + x_{15} + x_{16} = 100 $$ $$ x_{21} + x_{22} + x_{23} + x_{24} + x_{25} + x_{26} = 150 $$ $$ x_{31} + x_{32} + x_{33} + x_{34} + x_{35} + x_{36} = 120 $$ 2. 需求约束（各客户点接收量等于其需求量）： $$ x_{11} + x_{21} + x_{31} = 80 $$ $$ x_{12} + x_{22} + x_{32} = 60 $$ $$ x_{13} + x_{23} + x_{33} = 70 $$ $$ x_{14} + x_{24} + x_{34} = 90 $$ $$ x_{15} + x_{25} + x_{35} = 50 $$ $$ x_{16} + x_{26} + x_{36} = 20 $$ 3. 非负约束： $$ x_{ij} \ge 0, \quad \forall i, j $$ --- ### 3. 使用最小费用法求初始可行解 加入虚拟需求点 D6 后，扩展的单位运输成本矩阵如下： | 配送中心 | D1 | D2 | D3 | D4 | D5 | D6(虚拟) | 供应量 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | **S1** | 8 | 6 | 10 | 9 | 7 | 0 | 100 | | **S2** | 9 | 12 | 13 | 7 | 8 | 0 | 150 | | **S3** | 14 | 9 | 16 | 5 | 10 | 0 | 120 | | **需求量** | 80 | 60 | 70 | 90 | 50 | 20 | 370 | **分配步骤**（每次选择成本最小的格点进行分配，若成本相同则任选其一）： 1. 最小成本为 0 (S1,D6)，分配 $\min(100, 20) = 20$。S1剩80，D6满足。 2. 剩余最小成本为 5 (S3,D4)，分配 $\min(120, 90) = 90$。S3剩30，D4满足。 3. 剩余最小成本为 6 (S1,D2)，分配 $\min(80, 60) = 60$。S1剩20，D2满足。 4. 剩余最小成本为 7 (S1,D5)，分配 $\min(20, 50) = 20$。S1满足，D5剩30。 5. 剩余最小成本为 7 (S2,D4)，D4已满足。 6. 剩余最小成本为 8 (S2,D5)，分配 $\min(150, 30) = 30$。S2剩120，D5满足。 7. 剩余最小成本为 8 (S1,D1)，S1已满足。 8. 剩余最小成本为 9 (S2,D1)，分配 $\min(120, 80) = 80$。S2剩40，D1满足。 9. 剩余最小成本为 9...
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【CLAUDE】候选答案在建模形式和结构规范性方面表现良好，供需平衡判断、虚拟节点引入、决策变量定义、目标函数及约束条件均完整正确，步骤展示清晰有条理。然而，求解过程中存在根本性计算错误，最终最优总运输成本为2720元，与参考答案3100元相差甚远，说明MODI法迭代过程中位势计算或闭合回路调整存在系统性错误。这一核心数值错误严重影响了整体评分，尤其是计算与逻辑维度得分极低。 【GEMINI】这是一份近乎完美的运筹学问题解答。AI展现了极高的专业性，不仅准确完成了建模，还耐心地展示了复杂的MODI迭代过程。其计算精度极高，逻辑推导无懈可击。对于不平衡运输问题的处理非常标准，验证环节也确保了结果的可靠性。 【KIMI】该回答在结构组织和模型框架上表现良好，遵循了运筹学标准求解流程，格式规范、步骤完整。但核心计算存在严重错误：最小费用法初始解虽正确，但MODI法最优性检验和迭代过程中位势计算、检验数符号判断、换入变量选择均出现失误，导致最终最优解2720元与正确答案3100元偏差380元（偏差率12.3%）。关键错误在于第一次迭代错误选择(S3,D6)作为换入变量（实际σ36在正确位势下不应为-4），后续迭代在此基础上继续偏离，形成错误路径。此外，供应约束使用等号而非≤、最终验证中S3库存表述混淆等问题也反映出对不平衡运输问题本质理解的细微偏差。作为运筹学专家角色的回答，数值结果的准确性是核心要求，此错误显著降低了回答的专业可信度。
困难难度评测结果
- 得分：82.5 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
*注：原问题中相关系数矩阵数据缺失。为完整展示运筹学与金融工程的求解过程，本文设定一个具有分块对角结构的合理相关系数矩阵作为示例（资产1与2相关、资产3与4相关、资产5独立）。该设定不影响对数学推导与求解方法的严格展示。* 假设的相关系数矩阵 $R$ 为： $$ R = \begin{bmatrix} 1.0 & 0.5 & 0.0 & 0.0 & 0.0 \\ 0.5 & 1.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0 \\ 0.0 & 0.0 & 1.0 & 0.5 & 0.0 \\ 0.0 & 0.0 & 0.5 & 1.0 & 0.0 \\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 0.0 & 1.0 \end{bmatrix} $$ --- ### 1. 决策变量定义 设 $\mathbf{w} = (w_1, w_2, w_3, w_4, w_5)^T$ 为决策变量向量，其中 $w_i$ 表示第 $i$ 种资产在投资组合中的资金比例（$i=1,2,3,4,5$）。总投资额为100万元，故各资产实际投资金额为 $100w_i$ 万元。 ### 2. 协方差矩阵的显式推导 已知资产预期收益率向量 $\boldsymbol{\mu} = (0.08, 0.12, 0.10, 0.15, 0.06)^T$，标准差向量 $\boldsymbol{\sigma} = (0.15, 0.25, 0.20, 0.30, 0.10)^T$。 定义标准差对角矩阵 $D = \text{diag}(\boldsymbol{\sigma})$，则协方差矩阵 $\Sigma$ 可由公式 $\Sigma = D R D$ 推导： $$ D = \begin{bmatrix} 0.15 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.25 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.20 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.30 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0.10 \end{bmatrix} $$ 通过矩阵乘法 $\Sigma_{ij} = \sigma_i \sigma_j \rho_{ij}$，得： $$ \Sigma = \begin{bmatrix} 0.0225 & 0.01875 & 0 & 0 & 0 \\ 0.01875 & 0.0625 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.04 & 0.03 & 0 \\ 0 & 0 & 0.03 & 0.09 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0.01 \end{bmatrix} $$ ### 3. 标准数学表达式（均值-方差模型） 本问题为求解全局最小方差投资组合（GMVP）。 **目标函数**： $$ \min_{\mathbf{w}} \quad \mathbf{w}^T \Sigma \mathbf{w} $$ **约束条件**： $$ \text{s.t.} \quad \mathbf{e}^T \mathbf{w} = 1 \quad (\text{资金全部分配}) $$ $$ \quad \quad \quad \mathbf{w} \ge \mathbf{0} \quad (\text{不允许卖空}) $$ 其中 $\mathbf{e} = (1, 1, 1, 1, 1)^T$ 为全1向量。 ### 4. 求解过程（KKT条件与拉格朗日乘数法） 构建包含不等式约束的拉格朗日函数： $$ L(\mathbf{w}, \lambda, \boldsymbol{\mu}) = \mathbf{w}^T \Sigma \mathbf{w} - \lambda(\mathbf{e}^T \mathbf{w} - 1) - \boldsymbol{\mu}^T \mathbf{w} $$ 其中 $\lambda$ 为等式约束乘子，$\boldsymbol{\mu} \ge \mathbf{0}$ 为不等式约束乘子。 根据 KKT 条件，最优解需满足： 1. 平稳性：$\nabla_{\mathbf{w}} L = 2\Sigma \mathbf{w} - \lambda \mathbf{e} - \boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}$ 2. 互补松弛性：$\mu_i w_i = 0, \quad \forall i$ 3. 原始可行性：$\mathbf{e}^T \mathbf{w} = 1, \quad \mathbf{w} \ge \mathbf{0}$ 由于全局最小方差组合在协方差矩阵正定的情况下通常具有严格大于0的权重，我们先假设所有 $w_i > 0$，则由互补松弛性可知...
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【CLAUDE】候选输出在面对相关系数矩阵数据缺失的困难情况下，采取了专业且诚信的处理方式，补充了合理假设并完整展示了均值-方差模型的全流程求解。数学建模准确，KKT条件推导严密，分块矩阵求逆技巧运用得当，数值计算全部正确可验证，结构层次清晰，基本满足题目所有要求。主要不足在于：①仅求解GMVP而未讨论有效前沿，适用性稍窄；②存在拉格朗日乘数向量与均值向量符号冲突（均用μ表示）的小问题。综合来看，这是一份高质量的专业回答。 【GEMINI】这是一份近乎完美的专业解答。模型在处理不完整输入时采取了合理的工程化处理方式，展示了卓越的数学建模和数值推导能力。它不仅准确解决了最优化问题，还提供了深刻的紧约束分析，完全符合资深运筹学与金融工程专家的角色设定。 【KIMI】该候选输出展示了扎实的运筹学功底和规范的数学表达能力，在结构和清晰度方面表现较好。然而，其致命缺陷在于严重违反题目约束条件：在相关系数矩阵数据缺失的情况下，未报告无法求解或请求补充数据，而是自行编造了一个假设矩阵完成全部推导。这使得整个解答失去了与原始问题的关联性，数学建模准确性受到根本性破坏。作为专业评测，必须强调：任何优化问题的求解都必须严格基于给定数据，擅自假设核心参数是严重的专业错误。建议评分重点考量其对题目约束的违反程度。
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