deepseek-v4-pro 在「数列与递推关系」的评测结果
这是该 AI 模型在此测试用例上的详细评测结果。
基本信息
- 模型名称：deepseek-v4-pro
- 用例名称：数列与递推关系
- 测试类型：文本生成
- 评测维度：数学能力
系统提示词（System Prompt）
这是给 AI 模型的背景设定和角色指令：
你是一名资深数学教师，擅长数列规律分析与基础数学推导。 回答要求： 1. 先观察数列相邻项之差，识别并清晰描述数列的规律。 2. 给出通项公式（用 n 表示第 n 项），并简要说明推导过程。 3. 按步骤计算第 10 项的值，确保每一步计算有据可查。 4. 最终答案需明确标出，格式为「第10项的值为：__」。 5. 公式书写规范，数字计算准确，表达简洁易懂。
用户提示词（User Prompt）
这是用户给 AI 模型的具体任务要求：
观察以下数列： 2, 5, 10, 17, 26, ... 请完成以下任务： 1. **找规律**：计算相邻项之差，分析差值的变化规律，并用文字描述该数列的构成规律。 2. **写通项公式**：根据规律，写出该数列第 n 项的通项公式 aₙ（n 从 1 开始）。 3. **求第10项**：利用通项公式，计算 a₁₀ 的值，并给出完整的计算过程。
任务要求
AI 模型需要满足以下要求：
- 必须通过计算逐差（相邻项之差）来发现规律，不能仅凭猜测给出答案。
- 通项公式须正确表达为关于 n 的代数式，并验证至少一项（如 a₁ 或 a₂）与原数列吻合。
- 第 10 项的计算过程须完整呈现，直接给出结果而无推导过程不得满分。
- 规律描述须准确，能体现「差值本身构成等差数列」或等价的表述。
- 最终答案需单独标出，表述清晰明确。
评测结果
综合得分
该模型在此用例的得分为：94.3 分（满分 100 分），已通过
基础难度评测结果
- 得分：94.3 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
**1. 找规律** 先计算相邻项之差： \[ 5-2=3,\quad 10-5=5,\quad 17-10=7,\quad 26-17=9 \] 差值依次为： \[ 3,\ 5,\ 7,\ 9 \] 这些差值是连续奇数，并且每次增加 \(2\)。 因此，数列的规律是： 从第 \(1\) 项 \(2\) 开始，依次加上连续奇数 \(3,5,7,9,\dots\)。 --- **2. 写通项公式** 由差值规律可得： \[ a_n-a_{n-1}=2n-1 \quad (n\ge 2) \] 累加： \[ a_n-a_1=3+5+7+\cdots+(2n-1) \] 前 \(n\) 个奇数和为： \[ 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2 \] 所以： \[ 3+5+7+\cdots+(2n-1)=n^2-1 \] 因此： \[ a_n-2=n^2-1 \] \[ a_n=n^2+1 \] 所以通项公式为： \[ a_n=n^2+1 \] --- **3. 求第10项** 代入 \(n=10\)： \[ a_{10}=10^2+1 \] \[ a_{10}=100+1 \] \[ a_{10}=101 \] --- **最终答案：** \[ \boxed{\text{第10项的值为：101}} \]
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【CLAUDE】候选输出整体质量优秀，数学准确性高，逻辑推导严密，步骤清晰规范。通过逐差法识别规律，利用累加法推导通项公式，最终正确计算第10项为101，完全符合参考答案。主要不足是未显式验证通项公式在具体项的正确性（如代入 n=1,2 验证），这在教学规范性上略有减分。整体而言是一份高质量的解答。 【GEMINI】候选输出表现非常优秀。模型不仅准确完成了所有任务，而且在通项公式的推导上展现了极高的数学严谨性（使用了累加法而非简单的直觉猜测）。步骤清晰，格式规范，仅在“显式验证通项公式”这一细微要求上有所遗漏，整体堪称典范回答。 【KIMI】该候选输出是一份高质量的解题答案，严格遵循了逐差法发现规律的要求，通项公式推导严谨，第10项计算准确，最终答案格式规范。主要提升空间在于：可增加显式的公式验证步骤（如代入 n=1, n=2 检验），并在规律描述中明确使用「二阶等差数列」等专业术语，使表达更加精准完整。
进阶难度评测结果
- 得分：92.1 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
**任务一：逐项求值** 已知： \[ a_1=3,\quad a_2=5 \] 递推公式： \[ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+n \quad (n\ge 3) \] 依次计算： \[ a_3=a_2+a_1+3=5+3+3=11 \] \[ a_4=a_3+a_2+4=11+5+4=20 \] \[ a_5=a_4+a_3+5=20+11+5=36 \] \[ a_6=a_5+a_4+6=36+20+6=62 \] \[ a_7=a_6+a_5+7=62+36+7=105 \] \[ a_8=a_7+a_6+8=105+62+8=175 \] 所以： \[ a_3=11,\quad a_4=20,\quad a_5=36,\quad a_6=62,\quad a_7=105,\quad a_8=175 \] --- **任务二：求前8项之和** 前8项为： \[ 3,\ 5,\ 11,\ 20,\ 36,\ 62,\ 105,\ 175 \] 求和： \[ S_8=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8 \] \[ S_8=3+5+11+20+36+62+105+175 \] 逐步累加： \[ 3+5=8 \] \[ 8+11=19 \] \[ 19+20=39 \] \[ 39+36=75 \] \[ 75+62=137 \] \[ 137+105=242 \] \[ 242+175=417 \] 因此： \[ \boxed{a_8=175} \] \[ \boxed{S_8=417} \]
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【CLAUDE】候选输出在数学计算和逻辑推理上与 EVAL_BLOB 中 reference_answers 完全一致，递推公式应用正确，n 值代入准确，各项数值和求和结果均正确（a₈=175，S₈=417）。步骤展示完整、格式规范、结论清晰标注。需注意的是，评分维度中列出的「参考值」（a₄=19等）与 reference_answers 存在矛盾，系评分标准内部错误，候选输出实际上给出了正确答案。整体而言，候选输出质量优秀，符合题目所有要求。 【GEMINI】候选输出表现完美。不仅数学计算完全正确，而且严格遵守了系统提示词中的所有格式要求（包括完整的算式格式、逐步累加过程以及清晰的最终结论标注），是一份高质量的解答。 【KIMI】该候选答案是一份优秀的解题呈现。在核心的数学准确性上完全正确，递推公式应用无误，n的代入值与项序号严格对应，各项数值及求和结果均准确。逻辑推理清晰，步骤完整规范，结论标注明确。需要特别指出的是，评分维度说明中给出的'参考值'（a₄=19, a₅=33等）与EVAL_BLOB中reference_answers的实际正确答案（a₄=20, a₅=36等）存在矛盾，应以EVAL_BLOB中的正确答案为唯一事实来源进行评判。候选答案与EVAL_BLOB的reference_answers完全一致，应获得满分评价。
困难难度评测结果
- 得分：86.8 分
- 通过状态：已通过
模型生成产物
以下是该模型针对此任务的实际生成内容：
> **说明**：按题面原样，**任务二的命题不成立**。下面先求通项公式，再据此指出矛盾，并完成极限计算。 --- ## 任务一：求通项公式 将递推式改写为 $$ a_n-2a_{n-1}+a_{n-2}=n^2. $$ ### 1. 齐次部分 特征方程为 $$ r^2-2r+1=0, $$ 即 $$ (r-1)^2=0. $$ 所以 $r=1$ 是二重根，齐次通解为 $$ a_n^{(h)}=A+Bn. $$ ### 2. 非齐次特解 由于 $r=1$ 是二重根，且右边 $n^2$ 是二次多项式，使用**待定系数法**，设特解为 $$ a_n^{(p)}=\alpha n^4+\beta n^3+\gamma n^2. $$ 记 $$ \Delta^2 f(n)=f(n)-2f(n-1)+f(n-2). $$ 则 $$ \Delta^2 n^4=12n^2-24n+14, $$ $$ \Delta^2 n^3=6n-6, $$ $$ \Delta^2 n^2=2. $$ 代入递推式得 $$ \alpha(12n^2-24n+14)+\beta(6n-6)+2\gamma=n^2. $$ 比较系数： $$ 12\alpha=1, $$ $$ -24\alpha+6\beta=0, $$ $$ 14\alpha-6\beta+2\gamma=0. $$ 解得 $$ \alpha=\frac1{12},\qquad \beta=\frac13,\qquad \gamma=\frac5{12}. $$ 因此特解为 $$ a_n^{(p)}=\frac{n^4}{12}+\frac{n^3}{3}+\frac{5n^2}{12}. $$ ### 3. 通解与初值 通解为 $$ a_n=A+Bn+\frac{n^4}{12}+\frac{n^3}{3}+\frac{5n^2}{12}. $$ 代入 $a_1=1$： $$ A+B+\frac1{12}+\frac13+\frac5{12}=1, $$ 即 $$ A+B=\frac16. $$ 代入 $a_2=2$： $$ A+2B+\frac{16}{12}+\frac83+\frac{20}{12}=2, $$ 即 $$ A+2B=-\frac{11}{3}. $$ 两式相减得 $$ B=-\frac{23}{6}, $$ 于是 $$ A=4. $$ 故通项公式为 $$ \boxed{a_n=\frac{n^4}{12}+\frac{n^3}{3}+\frac{5n^2}{12}-\frac{23n}{6}+4}. $$ --- ## 任务二：关于 $b_n=a_n-\dfrac{n^3}{3}$ 的说明 由任务一的通项公式， $$ b_n=a_n-\frac{n^3}{3} =\frac{n^4}{12}+\frac{5n^2}{12}-\frac{23n}{6}+4. $$ 若 $\{b_n\}$ 是等差数列，则其相邻两项之差应为常数。但 $$ b_1=\frac23,\qquad b_2=-\frac23,\qquad b_3=3. $$ 于是 $$ b_2-b_1=-\frac43, $$ 而 $$ b_3-b_2=\frac{11}{3}. $$ 由于 $$ -\frac43\neq \frac{11}{3}, $$ 所以 $$ \{b_n\} $$ **不是等差数列**。 因此，按题面原样，**任务二的命题不成立**，不存在这样的公差 $d$。 > 若题目原意是减去完整的四次特解部分，则 > > $$ > a_n-\left(\frac{n^4}{12}+\frac{n^3}{3}+\frac{5n^2}{12}\right) > =4-\frac{23}{6}n > $$ > > 才是等差数列，其公差为 $-\dfrac{23}{6}$。 --- ## 任务三：计算极限 由任务一的通项公式， $$ \frac{a_n}{n^3} = \frac{n}{12} + \frac13 + \frac{5}{12n} - \frac{23}{6n^2} + \frac{4}{n^3}. $$ 当 $n\to\infty$ 时， $$ \frac{n}{12}\to\infty, $$ 而其余各项 $$ \frac13,\quad \frac{5}{12n},\quad -\frac{23}{6n^2},\quad \frac{4}{n^3} $$ 中，后三项都趋于 $0$，$\dfrac13$ 为常数。 因此由极限的四则运算法则， $$ \boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^3}=+\infty}. $$ 也就是说，该极限发散到正无穷，而非有限数。
AI 评审点评
以下是 AI 评审对该模型输出的点评：
【CLAUDE】候选模型在数学能力上表现出色：任务一的通项公式推导方法规范、结果正确；任务二和任务三的数学判断也是正确的（命题确实不成立，极限确实为+∞）。模型的主要价值在于它诚实地指出了原题的数学缺陷，而非强行「配合」题目预设的错误结论。然而，从考试评分角度看，任务二完全未能证明等差数列（因命题不成立），任务三给出的答案与题目预期（1/3）不符。参考答案本身也承认了这些矛盾，并表示「若考生能正确推导并指出命题不成立，应给予满分」。综合来看，候选模型的数学严谨性值得肯定，但在任务二缺乏完整推导（如直接从递推关系推导b_n的差分方程）这一点上有所欠缺。总体表现良好，推荐在数学准确性方面给予认可。 【GEMINI】这是一份极其优秀的解答。候选模型不仅在数学计算和逻辑推理上做到了无懈可击，更展现出了超越普通AI的批判性思维，成功指出了原题目的数学逻辑漏洞（任务二命题不成立），并给出了完全自洽、正确的推导与反例。完全符合专业数学专家的定位，给予满分评价。 【KIMI】该候选输出展现了卓越的数学素养和学术诚信。面对题目中任务二命题与严格数学推导相矛盾的情况，候选人没有牵强附会或编造结论，而是基于严谨求得的通项公式，通过具体反例明确指出命题不成立，并给出了建设性的修正方向。这种'忠于数学真理而非题目预设'的处理方式，体现了高级数学工作者应有的批判性思维。三个任务之间形成了良好的逻辑递进：任务一的通项公式为后续分析奠定坚实基础，任务二的'否定性结论'与任务三的'+∞极限'相互印证（因n⁴项存在，既破坏等差数列结构，也导致n³阶极限发散）。整体推导系统规范，方法选择恰当，计算准确无误，是一例优秀的数学问题求解样本。若题目设计本身存在瑕疵，此作答方式实为最佳应对策略。
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